Шпаргалки По Аналитической Геометрии
- Шпаргалки По Аналитической Геометрии И Линейной Алгебре
- Шпаргалки По Аналитической Геометрии 1 Курс
- Шпаргалки По Аналитической Геометрии
- Шпаргалки По Векторной Алгебре И Аналитической Геометрии
- Шпаргалки По Аналитической Геометрии 1 Семестр
Краткое описание различных видов поверхностей второго порядка В аналитической геометрии поверхность рассматривается как множество точек в пространстве. ^ Уравнением поверхности называется такое уравнение между переменными x, y, z, которому удовлетворяют координаты любой точки этой поверхности и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не принадлежащей ей. Следовательно, если известно уравнение поверхности F(x,y,z)=0, (7.1.) то легко решить вопрос о принадлежности к этой поверхности любой точки пространства. В этом разделе будут перечислены основные виды поверхностей второго порядка.
- Это расширенный вариант лекций, читаемых студентам большинства специальностей в МГТУ имени Н.Э. Дополнительный материал, включенный в этот вариант, представлен теми вопросами, которые вынесены на самостоятельное изучение и в аудитории, как правило, не рассматриваются.
- Шпаргалки на экзамен по аналитической геометрии с содержанием.
Шпаргалки По Аналитической Геометрии И Линейной Алгебре
Система координат предлагается прямоугольной. Распадающиеся поверхности Пусть F(x,y,z) есть произведение двух многочленов первой степени: F(x,y,z)=(A 1x+B 1y+C 1z+D 1)(A 2x+B 2y+C 2z+D 2) (7.1.1.), то поверхность распадается на пару плоскостей: Ax 1+B 1y+C 1z+D 1=0 и Ax 2+B 2y+C 2z+D 2=0. Цилиндрические поверхности Цилиндрическая поверхность второго порядка задается в некоторой надлежаще выбранной для данной поверхности канонической системе координат уравнением: F(x,y)=0 (7.2.1.) Кривая, определяемая уравнением (7.2.1.) в плоскости Oxy, является направляющей кривой цилиндрической поверхности. Эта кривая может быть эллипсом, действительным или мнимым, гиперболой или параболой, в зависимости от чего мы и различаем эллиптические (рис. 7.1.), мнимые эллиптические, гиперболические (рис. 7.2.) и параболические (рис. 7.3.) цилиндры, канонические уравнения которых совпадают с каноническими уравнениями направляющих кривых.
Эллиптический цилиндр. Каноническое уравнение рис.7.2. Гиперболический цилиндр.
Общее уравнение плоскости в декартовой системе координат: ЕГЭ формулы шпаргалки. Шпаргалки шпоры по аналитической геометрии и многим другим предметам, всего более 900.
Каноническое уравнение. Параболический цилиндр. Каноническое уравнение x 2=2pZ. Если направляющая (7.2.1) есть пара прямых, то цилиндрическая поверхность выражается в пару плоскостей (пересекающихся, параллельных или совпадающих, действительных или мнимых - в зависимости от соответствующего свойства лежащей в основании пары прямых). Конусы второго порядка Под действительным конусом второго порядка понимается поверхность второго порядка, которая в прямоугольной системе координат задается уравнением: (7.3.1.) Это уравнение и система координат, в которой данный конус задается, называются каноническими для этого конуса (рис.7.4.). Частным случаем конуса второго порядка является круглый конус, каноническое уравнение которого имеет вид: x2+y2-k2z2=0, где k=tga (7.3.2.) Плоскость, параллельная плоскости Oxy, пересекает конус (7.3.2.) по окружности.
Плоскости, параллельные плоскостям Oyz и Oxz, пересекают круглый конус по гиперболам. Не только эллипс и гипербола, но и парабола является плоским сечением круглого конуса, как например, для уравнения x2+y2-Z2=0 (при k=1), сечение конуса плоскостью, заданной уравнением x-z+1=0 есть парабола. Наряду с действительными конусами второго порядка существуют ещё и мнимые конусы, которые имеют вид ^ 7.4. Эллипсоиды и гиперболоиды Эллипсоидом (вещественным) называется поверхность, имеющая в некоторой ('канонической' для нее) прямоугольной системе координат ('каноническое') уравнение: (7.4.1.) (рис.7.5) рис.7.5. При a=b=c эллипсоид является сферой радиуса. Поверхность, задаваемая уравнением (7.4.2.) называется мнимым эллипсоидом. Однополосным, соответственно двуполосным гиперболоидом называется поверхность, имеющая в некоторой прямоугольной системе координат уравнение - (однополостный гиперболоид (рис.7.6.)), (7.4.3.) - (двуполостный гиперболоид (рис.7.7.)), (7.4.4.) рис.7.6.
Параболоиды Эллиптическим, соответственно гиперболическим параболоидом называется всякая поверхность, которая имеет каноническое уравнение - для эллиптических параболоидов, (7.5.1.) -для гиперболических параболоидов, (7.5.2.) при этом p и q - положительные числа («параметры параболоидов»). Гадания онлайн. Общий вид эллиптического параболоида представлен на рис. Гиперболический параболоид представлен на рис.7.9. Задачи для самостоятельной работы Для выполнения самостоятельной работы необходимо повторить материал: Приложения квадратичных форм (часть I, 5.3), преобразование координат (часть II, 4.1-4.2) 1. Найти тип и каноническое уравнение поверхности второго порядка. X 2+2xy+6xz+5y 2+2yz+z 2=6 Решение.
Выписываем А левой части уравнения и находим ее характеристические числа:, =- 3+7 2-36=-( +2)( -3)( -6)=0 Следовательно, 1=-2, 2=3, 3=6, и поэтому канонический вид данного уравнения следующий: -2у 1 2 +3у 2 2 +6у 3 2=6 Þ Это уравнение определяет однополосный гиперболоид с полуосями а=1, b=, с=. Определить тип и найти каноническое уравнение поверхностей второго порядка: 2.1.
2х2-2ху-4хz+5y2+2yz+2z2=3 2.2. 7х2-4ху+6у2-4уz+5z2=18 2.3.
Шпаргалки По Аналитической Геометрии 1 Курс
X2+4xy-8xy-2y2-4yz+z2=6 ^ Ответы к 7.6 2.1. Эллиптический цилиндр. Двуполостный гиперболоид. Контрольное задание 1. Упростить выражение x = 2( - 2 ) + 6 2. Заданы вершины треугольника А(-1, -2, 4), B(-4, -1, 2) и C(-5, 4, -6); BD- его высота.
Шпаргалки По Аналитической Геометрии
Найти координаты точки D (использовать скалярное произведение двух векторов ). Сила F = 2 i - 4 j +5 k приложена к точке А (4, -2, 3).
Определить момент этой силы относительно точки О(3, 2, -1). Даны три силы: (2, -1, -3), (3, 2, -1) и (-4, 1, 3), приложенные к точке А(-1, 4, 2). Определить величину и направляющие косинусы момента равнодействующих этих сил относительно точки О(2, 3, -1).
Заданы прямая l: x - 1/2 = y/1 = z + 1/0 и точка М(0, 1, 2). 1.написать уравнение плоскости, проходящей через точку М перпендикулярно прямой l. 2.написать уравнение плоскости, проходящей через прямую l и точку М. Определить, как расположена прямая относительно эллипса: пересекает, касается или проходит вне его, если прямая и эллипс заданы уравнениями: 2 x - y - 3 = 0, x²/16 + y²/9 = 1 7.
Написать уравнение гиперболы, если известно, что ее фокусами являются точки F1(-3, -4) и F2( 3, 4), а расстояние между директрисами равно 3.6. Написать уравнение параболы, если известны фокус F(4, 3) и директриса d: y + 1 = 0. Записать уравнение кривой x² + y² =ax в полярной системе координат.
Определить, какие геометрические образцы определяются заданными уравнениями: а) z + 5 = 0 б) ( x - 2 )² + y² + ( z + 1 )² = 16 в) x² + 2y² + 2z² + 7 = 0 г) x² - 4z² = 0 ^ Контрольные вопросы 1. Дайте определение коллинеарности и компланарности двух векторов. Операции над векторами, заданными в координатной форме. Найдите координаты суммы векторов: (1, 2, -3), (0, -2, 5), (4, 0, -2) 3. Дайте определение скалярного произведения. Укажите физический смысл скалярного произведения двух векторов. Основные свойства скалярного произведения.
Распространяется ли скалярное произведение на три и больше число векторов? Запишите скалярное произведение в координатной форме. Найдите углы, образуемые вектором (4, 0, -3) с осями координат, т.е. С векторами (1,0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Условия коллинеарности и перпендикулярности векторов. Дайте определение векторного произведения. Основные свойства.
Векторное произведение в координатной форме. Доказать, что -, + =2 и выяснить геометрический смысл этого тождества. Вектор , называется двойным вектором произведением заданных векторов. Доказать, что справедливо равенство , = (, ) - (, ).
11. Доказать основное алгебраическое свойство смешанного произведения: циклическая перестановка векторов не меняет его величины, т.е.
= = =,. Что означает эта запись? Виды задания прямой на плоскости.
Прямая l задана точкой M0 (x0, y0) и нормальным вектором (A, B). Написать уравнение прямой, привести его к общему виду. Привести общее уравнение к нормальному виду и указать расстояние от начала координат до прямой. Прямая l задана точкой M0 (x0, y0) и направляющим вектором (m, n). Написать уравнение прямой, привести к общему виду.
Прямая l задана двумя своими точками M1 (x1, y1) и M2 (x2, y2). Написать уравнение прямой. Заданы прямая l и точка M. Карта сайта. Требуется: 1. Вычислить расстояние от точки M до прямой. Написать уравнение прямой l1, проходящей через точку М перпендикулярно прямой l. Написать уравнение прямой l1, проходящей через точку М параллельно заданной прямой l.
Виды задания прямой в пространстве. Написать уравнение плоскости Р, проходящей через точки M0(x0, y0, z0) и M1(x1, y1, z1) параллельно вектору (x, y, z). Прямая l задана общим уравнениями Написать каноническое уравнение этой прямой. Заданы плоскость Р и точка М0.
Написать уравнение плоскости Р1, проходящей через точку М0, параллельно плоскости Р. (P: Ax + By + Cz + D= 0; M0 (x0, y0, z0)). Доказать что прямые l1: и l2: (x + 7)/3 = (y - 5)/-1 = (z - 9)/4 параллельны. Написать уравнение гиперболы с полуосями a и b и центром в точке С(x0, y0), если известно, что ее действительная и мнимая оси параллельны осям Ox и Oy соответственно.
Из фокуса параболы y²=12x под острым углом к оси OX направлен луч света, причем tg = 3/4. Написать уравнение прямой, на которой лежит луч, отраженный от параболы. Вывести уравнение прямой в полярной системе координат, если: a) прямая проходит через полюс; б) прямая не проходить через полюс. Показать, что параметрические уравнения x = a cos t y = a sin t t 0.2, определяют окружность x² + a² = a².
Основные типы поверхности второго порядка. Приведение поверхностей второго порядка к каноническому виду. ^ Ответы к заданию.
2( + ). (-2, 0, 2). 4 + 3 + 4., cos = 1/, cos = -4/, cos = -7/. 1. 2x + y = 0 2.
Шпаргалки По Векторной Алгебре И Аналитической Геометрии
X - 2y = z = 0. пересекает. 7y² + 24xy - 144 = 0. y = 1/8x² - x + 3. r = a cos . a) плоскость z = -5║xOy б) сфера. R = 4 O (2, 0, -1) в) пустое множество г) пара пересекающихся плоскостей.
Пусть под действием некоторой постоянной во величине и направлению силы F материальная точка сместилась прямолинейно по вектору АО = а, то угол между этими векторами , тогда работа A = = cos = . Следовательно направление силы совпадает с направлением перемещения, т.е.
=, (результат не зависит от того, как расставить квадратичные скобки в правой части. Это вытекает из основного алгебраического свойства смешанного произведения).
(x1 - x0, y1 - y0, z1 - z0) и (x 3y 3z 3) неколлинеарны. В качестве нормального вектора к плоскости можно взять = ,. Или можно иначе: использовать условие компланарности трех векторов,.
В качестве направляющего вектора можно взять = , , точку М найти из системы. 23, y - 18 = 0 24. A) k = tg б) r = P/cos( - ) указание 25. Использовать нормальное уравнение прямой x cos + y cos - P = 0. Учитывать, что cos = sin .
Литература 1. Беклеминов Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Наука, 1990. Бугров Я.С., Никольский С.М.
Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии. М.: Наука, 1990.
Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии.
HP Pavilion g7-1000 series. 140 шт HP Pavilion g7-1100 series. 124 шт HP Pavilion g7-1200 series. 177 шт HP Pavilion g7-1300 series. 186 шт HP Pavilion g7-2000 series. 79 шт HP Pavilion g7-2100 series. Пользователь: Jordan. Загрузка обновлений ПО и драйверов для вашего продукта Ноутбук HP Pavilion g7-1080er. Загрузите и установите драйвера ноутбуков HP Pavilion g7 для Windows 7, XP, 10, 8 и 8.1 или скачайте программу для автоматической установки и обновления драйверов DriverPack Solution. Драйверы для HP Pavilion g7 Series для Windows 7 бесплатно. Найдено драйверов - 8. Выберите драйвер для бесплатной загрузки. Hp pavilion g7 series драйвера. Скачать бесплатно драйвера для ноутбуков HP Pavilion g7. Драйвера для windows 7, wifi, видеокарты, камеры и другие драйвера к ноутбукам HP Pavilion g7.
Шпаргалки По Аналитической Геометрии 1 Семестр
М.: Наука, 1975.